本文研究 Volterra 积分微分方程这两类非局部问题的高精度算法及其爆破性质. 对于这类非局部问题, 均将其转化为第二 类 Volterra 积分方程. 因此这几类问题都归结为带有奇性的 Volterra 积分方程的计算问题. 我们首先通过 Picard 迭代求 出解在初始点的分数阶渐近展开式, 对解在初始点的奇性给出精 确刻画. 该级数展开式在本文中起着两方面的作用. 一是分离出 解在初始时刻的奇性, 并设计奇点分离的 Chebyshev 配置法; 二是对于爆破问题, 用来预测爆破时间. 关于正则区间上的 Chebyshev 配 置 法 本 文 采 用 了 两 种 构 造 方 式 , 一 是 离 散 Volterra 积分方程, 另一个是离散 Hadamard 有限部分积分形 式. 这几类非线性方程的解可能发生爆破现象, 在爆破时刻附近 配置法的精度会由于奇性的影响大大降低. 为此, 针对一些特殊 的非线性函数, 我们利用一种简单的待定系数法求出方程的爆破 主项, 通过在方程中减去爆破主项, 在包含爆破点的区间上,Chebyshev 配置法的计算精度将有很大提高.
研究方法：分数阶微分方程首先转化为弱奇异的 Volterra 积分方程，弱奇异 Volterra 积分方程的基本特征是解在初始点非充 分光滑，但解在初始点的 psi 级数展开式可以完全显式地求出来。 在前期的研究工作中，我们发展了一种 Picard 迭代级数分解算法 可以高效地求出 Volterra 积分方程的解在初始点的有限项 psi 级 数展开式，这种方法的核心在于在迭代过程中对非线性函数在初 始点做 psi 级数展开使得积分可以解析求出。该展开式在奇点附 近可以作为方程的高精度近似解，也即我们成功地分离出了方程 解的奇异部分。在剩余区间上，我们设计数值方法求解方程。 在数值算法部分，我们完全可以避开解的初始奇性，即引入一个 小的正数，在小区间上，使用求出的有限项 psi 级数展开式近似 方程的解；在剩余区间上，方程的解充分光滑，我们选择高精度 的 Chebyshev 配置法求解，主要工作量在于计算权积分，这方面 已有非常多的工作，包括算法构造和收敛性分析，可以为我们的 研究工作提供借鉴。对于爆破问题，一是对求出的级数展开式做 帕德逼近，预测爆破时间，二是求出解在爆破点的渐近展开式主 项，进而通过积分变换改进爆破时间的预测精度。三是在方程中 减去爆破主项，对于变换后的方程应用切比雪夫配置法求解，提高数值解的计算精度。
附：成果照片（如期刊封面、论文第一页、检索论文第一页、采纳证明、软件著作权证、比赛获奖证书等）
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