天津师范大学2026年硕士研究生招生考试

自命题科目考试大纲

考试科目：829高等代数

适用专业：数学

一、考试要求

本科目主要考查对于高等代数中的有关多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间和线性变换、λ-矩阵、欧氏空间等基本概念、基本理论的理解和把握，以及运用所学理论分析、解决实际问题的能力。

二、考试形式

（一）主要题型包括：计算题、证明题。

（二）考试形式为闭卷、笔试。

（三）考试时间为3小时。

（四）满分150分。

（五）试卷题型结构：

1.计算题（75分），共5题；

2.证明题（75分），共5题。

三、考试内容

（一）多项式

1.数域；2.一元多项式；3.整除的概念；4.最大公因式；

5.因式分解定理；  6.重因式；  7.多项式函数

8.复系数与实系数多项式的因式分解；  9.有理系数多项式。

（二）行列式

1.排列；2.n阶行列式；3.n阶行列式的性质；4.行列式的计算；5.行列式按一行（列）展开；6.克拉默法则；7.拉普拉斯定理。

（三）线性方程组

1.消元法； 2.n维向量空间 ；3.线性相关性； 4.矩阵的秩；5.线性方程组有解判别定理； 6.线性方程组解的结构。

（四）矩阵

1.矩阵的概念及运算；2.矩阵乘积的行列式与秩；3.矩阵的逆；4.矩阵的分块； 5.初等矩阵；6.分块矩阵的初等变换及应用举例。

（五）二次型

 1.二次型的矩阵表示；  2.标准形；

 3.唯一性；  4.正定二次型。

（六）线性空间

 1.集合与映射；  2.线性空间的定义与简单性质；  3.维数、基与坐标；4.基变换与坐标变换；  5.线性子空间；  6.子空间的交与和；7.子空间的直和；8.线性空间的同构。

（七） 线性变换

 1.线性变换的定义； 2.线性变换的运算；3.线性变换的矩阵；4.特征值与特征向量；5.对角矩阵；6.线性变换的值域与核；7.不变子空间；8.若尔当标准形介绍；9.最小多项式。

（八）λ-矩阵

1. λ-矩阵；2. λ-矩阵在初等变换下的标准形；3.不变因子；4.矩阵相似的条件；5.初等因子；6.若尔当标准形的理论推导；7.矩阵的有理标准形。

（九） 欧几里得空间

1. 定义与基本概念；2. 标准正交基；3. 同构；4. 正交变换；5. 子空间；6. 实对称矩阵的标准形。

四、参考书目

     [1]高等代数，第五版，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明修订，北京：高等教育出版社，2019。