天津师范大学 2026 年硕士研究生招生考试

自命题科目考试大纲

考试科目：629数学分析

适用专业：数学

一、考试要求

本科目主要考查对于数学分析中的有关极限、连续性、微分与积分理论、级数收敛性以及多元微积分等核心理论的理解和把握，以及运用所学理论分析、解决实际问题的能力。

二、考试形式

（一）主要题型包括：计算题、证明题。

（二）考试形式为闭卷、笔试。

（三）考试时间为3小时。

（四）满分150分。

（五）试卷题型结构：

1．计算题（75 分），共5题；

2．证明题（75 分），共5 题；

三、考试内容

（一）实数集与函数

1.确界原理； 2.具有某些特性的函数。

（二）数列极限

1.数列极限的概念； 2.收敛数列的性质；3.求数列极限；4.数列极限存在条件。

（三）函数极限

1.函数极限的概念与计算； 2.函数极限的性质；3.函数极限存在的条件；4.两个重要极限；5.无穷小量与无穷大量。

（四）函数的连续性

1.连续性的概念； 2.连续函数的性质。

（五）导数和微分

1.导数的概念； 2.求导法则；3.导数及高阶导数的计算；4.参变量函数的导数；5.微分的概念与运算。

（六）微分中值定理及其应用

1.拉格朗日中值定理和函数的单调性； 2.柯西中值定理；3.不定式极限；4.泰勒公式及其应用；5.函数的极值与最值；6.函数的凸性与拐点。

（七）不定积分

1.不定积分概念；2.不定积分的计算；3.换元积分法与分部积分法； 4.有理函数与可化为有理函数的不定积分。

（八）定积分

1.定积分的概念与计算； 2.可积性条件；3.定积分的性质；4.微积分学基本定理。

（九）定积分的应用

1.平面图形的面积； 2.由平行截面面积求体积；3.平面曲线的弧长与曲率；3.旋转曲面的面积。

（十）反常积分

1.反常积分的概念；2.无穷积分与瑕积分的性质及其敛散判别。

（十一）数项级数

1.级数的敛散性判别；2.正项级数；3.一般项级数。

（十二）函数列与函数项级数

1.一致收敛； 2.一致收敛函数列和函数项级数的性质。

（十三）幂级数

1.幂级数求和； 2.函数的幂级数展开。

（十四）傅里叶级数

1.函数的傅里叶级数展开。

（十五）多元函数的极限与连续

1.多元函数的概念和极限； 2.多元函数的连续性。

（十六）多元函数的微分学

1.可微性； 2.复合函数的微分法；3.方向导数和梯度；4.泰勒公式和极值问题。

（十七）多元函数的微分学

1.隐函数与隐函数组的概念和存在性分析；2.隐函数求导；3.几何应用；4.条件极值。

（十八）含参量积分

1.含参量正常积分； 2.含参量反常积分。

（十九）曲线积分

1.第一型曲线积分的概念和计算； 2.第二型曲线积分的概念和计算；3.两类曲线积分的关系。

（二十）重积分

1.二重积分的概念与性质； 2.二重积分的计算；3.格林公式，曲线积分与路线的无关性；4.二重积分的变量变换；5.三重积分的概念和计算。

（二十一）曲面积分

1.第一型曲面积分的概念和计算； 2.第二型曲面积分的概念和计算；3.两类曲面积分的关系；4.高斯公式和斯托克斯公式。

四、参考书目

[1]《数学分析（第五版）》上下册，主编：华东师范大学数学科学学院，高等教育出版社，2019年版。

[2]《数学分析（第三版）》，主编：陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，2019年版。

[3]《数学分析教程》，主编：常庚哲、史济怀，中国科学技术大学出版社，2012年版。